Райков Д. А.
Векторные пространства
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
1962
АННОТАЦИЯ
Эта монография не только излагает общую теорию векторных пространств и необходимые для ее понимания разделы математики, недостаточно освещенные в университетском курсе (упорядоченные множества и др.), но и является алгебраическим введением в изучение топологических линейных пространств. С этой целью особое внимание уделяется таким вопросам, как дуальные пары векторных пространств, выпуклые множества, продолжение линейных функций и др.
Книга представит интерес для специалистов в разных областях математики и написана так, что будет доступна студентам-математикам.
Содержание книги
Векторные пространства
Предисловие
Глава 1. Предварительные сведения об упорядоченных множествах и о группах
§ 1. Об упорядоченных множествах
1. Понятие упорядоченного множества
2. Совершенно упорядоченные множества
3. Вполне упорядоченные множества. Принцип выбора
4. Принцип максимального элемента
§ 2. О группах
1. Понятие группы
2. Коммутативные группы
3. Фактор группы коммутативной группы
4. Суммы и произведения коммутативных групп
5. Понятие поля
Глава II. Общая теория векторных пространств
§ 3. Основные понятия
1. Понятие векторного пространства
2. Подпространства
3. Аффинные многообразия
4. Факторпространства. Дополнительные подпространства. Произведение и сумма семейства векторных пространств
5. Линейная зависимость и независимость
6. Понятие базиса
7. Конечномерные векторные пространства
8. Базисы и размерность произвольных векторных пространств
§ 4. Линейные отображения
1. Понятие линейного отображения
2. Разложения линейных отображений
3. Действия над линейными отображениями
4. Проекторы
§ 5. Линейные функции
1. Понятие линейной функции
2. Векторное сопряженное к конечномерному векторному пространству
3. Линейные функции и гиперподпространства
4. Системы линейных уравнений
§ 6. Дуальные пары векторных пространств
1. Понятие дуальной пары
2. Аннуляторы
3. Биортогональные системы
§ 7. Выпуклые множества
1. Понятие выпуклого множества
2. Абсолютно выпуклые множества
3. Выпуклая оболочка
4. Конусы
5. Окруженные точки
6. Функционал Минковского
7. Преднормы и нормы
§8. Продолжение линейных функций
1. Сублинейные функции
2. Теоремы продолжения (алгебраическое изложение)
3. Теоремы продолжения (геометрическое изложение)
Глава III. L-пространства
§ 9. Основные понятия
1. Понятие L-пространства
2. L-отображения
3. Конечномерные L-отображения
4. L-структуры, определяемые линейными отображениями
5. Замкнутые подпространства L-пространства
6. L-подпространства
7. Гомоморфизмы L-пространств
8. Факторпространства L-пространства
9. Произведения и суммы L-пространств
10. Разложение L-пространства в прямую сумму его L-подпространств
§ 10. Двойственность
1. Сопряженное L-пространство
2. Сопряженное L-отображение
3. Сопряженные к L-подпространству, фактор-пространству L-пространства и прямой сумме L-подпространств
4. Сопряженные к произведению и сумме семейства L-пространств
5. Связки гиперплоскостей
§ 11. L-пространства над RHC
1. Регулярно выпуклые множества
2. Поляры
3. L-ограниченные множества
4. Совершенно выпуклые множества. Теорема Крейна—Мильмана
Указатель
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эту книгу следует рассматривать как алгебраическое введение в теорию топологических линейных пространств. Она содержит как сведения о векторных пространствах, на каждом шагу используемые при изучении топологических линейных пространств, так и те разделы теории топологических линейных пространств, которые, хотя и излагаются обычно в топологической форме, на самом деле носят алгебраический характер.
В главе I изложены необходимые для дальнейшего сведения об упорядоченных множествах (включая вывод из принципа выбора так называемой леммы Цорна) и о группах (главным образом коммутативных).
Особенностью главы II, посвященной общей теории векторных пространств, является то, что, за исключением нескольких мест, рассматриваемые в ней пространства не предполагаются конечномерными. Вслед за основными понятиями и фактами, относящимися к векторным пространствам и их линейным отображениям, подробно рассмотрены темы, представляющие специальный интерес для теории топологических линейных пространств, такие, как дуальные пары векторных пространств, выпуклые множества, продолжение линейных функций.
Особых пояснений требует глава III. Как известно, различные локально выпуклые топологии в векторном пространстве могут порождать один и тот же запас замкнутых гиперподпространств (или, что то же, один и тот же запас непрерывных линейных функционалов). Но многие свойства локально выпуклых пространств определяются только этим запасом, а последний может быть охарактеризован в чисто алгебраических терминах. Это и привело автора книги к понятию «L-пространства», т. е. векторного пространства с алгебраически заданной системой «замкнутых» гиперподпространств. Это понятие равнообъемно с введенным ранее Макки понятием «линейной системы», т. е. векторного пространства с заданным сопряженным пространством линейных функций; но по форме оно оказалось более приспособленным для систематического построения теории.
Читатель, знакомый с основами теории топологических линейных пространств, заметит, что в главе III содержится значительная часть теории двойственности локально выпуклых пространств, включая всю теорию слабой двойственности. Разумеется, вместо топологических понятий здесь выступают их алгебраические эквиваленты. Это особенно относится к последнему параграфу, завершающемуся доказательством алгебраического эквивалента известной теоремы Крейна и Мильмана об экстремальных точках бикомпактных выпуклых множеств. «L-ограниченные совершенно выпуклые множества» здесь не что иное как выпуклые множества, бикомпактные в слабейшей из топологий, порождающих заданный запас замкнутых гиперподпространств, а «регулярно выпуклая оболочка» множества — его замкнутая в любой такой топологии выпуклая оболочка; но эти понятия определяются чисто алгебраически и соответственно этому также все доказательства проводятся алгебраическими способами.
Топологические аспекты всех этих вопросов будут освещены в книге автора, посвященной теории топологических линейных пространств.
Настоящая книга написана так, чтобы ее мог прочесть студент-математик, знакомый с теорией множеств (собственно только с действиями над множествами и понятием мощности).
Для удобства ссылок нами принята сквозная нумерация параграфов, не зависящая от разбиения книги на главы. Параграфы разбиты на разделы, помеченные номерами, а эти разделы — на пункты, помеченные прописными буквами русского алфавита. Для определений и теорем принята сквозная нумерация в пределах каждого параграфа, не зависящая от его разбиения на разделы и пункты. При ссылке на пункт, находящийся в том же разделе, указывается только озаглавливающая этот пункт буква (например: см. Д). При ссылке на пункт, находящийся в другом разделе того же параграфа, ставится сначала номер раздела (например: см. 4.Е). Наконец, при ссылке на пункт, находящийся в другом параграфе, указывается вначале еще номер параграфа (например: см. 5.1 .Б).
Скачать книгу "Векторные пространства". Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1962
|
